Линейная алгебра: матрицы и отображения

Содержание курса

Курс состоит из 5 модулей: векторные пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений и жорданова форма, симметрические и ортогональные линейные операторы. Каждый модуль включает в себя видео, практическое задание и набор дополнительных материалов для самостоятельной практики и дальнейшего погружения в тему. Материалы курса разработала группа исследователей Математического центра в Академгородке (соглашение с Министерством науки и высшего образования РФ № 075−15−2019−1675).

• 5 модулей
• 5 тем
• 17 часов

• Векторные пространства

  В первом модуле вы познакомитесь с векторными пространствами — одним из наиболее важных объектов в нашем курсе. От знакомого всем трёхмерного пространства перейдёте к пространствам большей размерности и научитесь представлять четырёхмерное (и даже n-мерное) векторное пространство. 

  Рассмотрев базисы векторных пространств, сможете однозначно сопоставлять каждую точку n-мерного пространства с упорядоченным набором из n чисел, который называется координатами точки. Используя координаты в выбранном базисе, будете решать стандартные геометрические задачи (например, находить длину отрезков или угол между прямыми) в пространстве любой размерности.

  • Вводное видео. О чём этот курс.
  • Векторы на плоскости и в пространстве.
  • Векторные пространства.
  • Базис векторного пространства.
  • Координаты векторов.
  • Подпространства векторного пространства. Линейная оболочка.
  • Сумма и пересечение подпространств.
  • Скалярное произведение. Евклидовы пространства.
  • Метод ортогонализации. Матрица Грама.
  • Ортогональное дополнение.
  • Дополнительные материалы (11 наименований).

• Линейные отображения

  Второй модуль курса посвящён линейным отображениям между векторными пространствами. Вы поймёте, что в некотором смысле линейные отображения и матрицы — это одно и то же. Научитесь строить по каждому линейному отображению соответствующую ему матрицу и с её помощью находить ядро и образ отображения. 

  Изучите два важных класса линейных преобразований: ортогональные, которые описывают повороты пространства, и симметрические, описывающие, растяжения пространства.

  • Линейное отображение.
  • Матрица линейного отображения.
  • Ядро и образ линейного отображения.
  • Ранг матрицы и его свойства.
  • Изменение матрицы отображения при переходе к новому базису?
  • Сопряжённое линейное отображение.
  • Ортогональные операторы и матрицы.
  • Дополнительные материалы (7 наименований).

• Системы линейных уравнений и их приложения

  Третий модуль посвящён теории и практике решения систем линейных алгебраических уравнений. Эта техника лежит в основе решения большинства задач линейной алгебры и геометрии. 

  Вы изучите метод Гаусса, который позволяет определять совместность и находить общее решение для системы из любого количества линейных уравнений с любым числом неизвестных. Научитесь определять размерность и находить фундаментальную систему решений однородной системы уравнений, а также применять изученную технику для исследования линейных операторов. 

  Познакомитесь с понятиями собственного значения и собственного вектора — важнейшими для линейной алгебры в целом. Узнаете, как находить полный спектр собственных значений линейного оператора и как геометрические свойства оператора связаны с его спектром. Познакомитесь с понятием полупростого оператора и поймёте, почему этот класс операторов играет особенно важную роль в практике применения линейной алгебры в прикладных задачах.

  • Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
  • Решение задачи для фанерного завода методом Гаусса.
  • Однородные системы линейных уравнений.
  • Собственные числа и собственные векторы.
  • Определение собственных значений.
  • Полупростые операторы.
  • Нильпотентные линейные преобразования.
  • Дополнительные материалы (7 наименований).

• Жорданова форма

  Четвёртый раздел посвящён одному из наиболее красивых достижений математики — жордановой классификации линейных операторов на комплексном конечномерном пространстве. Основная область применения такой классификации — решение теоретических задач, связанных с описанием различных классов линейных операторов. 

  Жорданову форму можно использовать для поиска точных решений ряда практических задач. Например, вы узнаете, как вывести общую формулу для членов знаменитой последовательности чисел Фибоначчи, что нужно делать для анализа произвольной линейной рекуррентной последовательности любого порядка и как находить точное решение произвольной системы линейных дифференциальных уравнений.

  • Жорданова нормальная форма и её применение.
  • Ядерное разложение пространства.
  • Разложение Жордана — Шевалле.
  • Примеры разложений Жордана — Шевалле.
  • Нильпотентные операторы.
  • Определение канонического базиса нильпотентного оператора.
  • Определение жордановой нормальной формы.
  • Вычисление многочлена от матрицы.
  • Анализ линейных рекуррентных последовательностей.
  • Матричная экспонента.
  • Дополнительные материалы (10 наименований).